数値近似解法のひとつの理論的裏付けに世界で初めて成功

• 修正ヘルムホルツ方程式(※1)という方程式の円領域上の場合について、基本解近似解法(※2)による近似解(※3)の存在と、真の解への指数的収束(※4)を示しました。
• 今回の修正ヘルムホルツ方程式はノイマン型の境界条件(※5)が課されており、この問題に対する基本解近似解法の解の構成と、特に指数収束の数学的結果は世界初の結果です。
• この結果から、修正ヘルムホルツ方程式のノイマン問題に対する一般領域の場合における基本解近似解法の理論的裏付けが可能になることができると期待できます。また反応拡散系の一般領域に対する進行スポット解の運動の解析にも応用することができます。

公立はこだて未来大学の田中吉太郎准教授と九州大学の落合啓之教授、北海道大学の栄伸一郎教授の共同研究グループは、数値解析分野における一つの数値解法の理論的な裏付けをするのに成功しました。本グループは、円領域上の修正ヘルムホルツ方程式の近似解を基本解近似解法という方法を用いて構成し、真の解に指数的に収束することを示しました。今回の修正ヘルムホルツ方程式はノイマン型の境界条件が課されており、この問題に対する基本解近似解法の解の構成と、特に指数収束の数学的結果は世界初です。

(※1) 修正ヘルムホルツ方程式
偏微分方程式の一つ。未知変数をuとし、αを定数とすると、Δu – α u = 0で与えられます。Δはラプラシアンと呼ばれる微分演算子です。 

(※2) 基本解近似解法
有界領域上の偏微分方程式に対して、その偏微分方程式の基本解という解を用いて近似解を構成する方法の一つです。 

(※3) 近似解
方程式の真の解ではないが、真の解に近い解のことです。

(※4) 偏微分方程式の数値解法に差分法や有限要素法などがありますが、これらの解法は、空間の格子数（メッシュ数）に対して、格子数の冪乗の逆数等のオーダーで収束することが知られています。基本解近似解法の指数的収束はこのオーダーよりも圧倒的に早く、つまり近似の精度が圧倒的に良いことを意味します。

(※5) ノイマン型境界条件
境界上で未知変数の導関数に値を課す条件のことです。

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 マス・フォア・インダストリ研究所　落合　啓之　教授